Question

如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）要证明平面，需证明及，前面在平面中证明，利用勾股定理，即通过计算设，则.∴，∴.后者通过线面垂直与线线垂直的转化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通过作、证、算，本题可过作,则为所求二面角的平面角.也可利用空间向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量数量积求出两法向量的夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得出结论.
试题解析：（1）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.
又三棱柱为直三棱柱，
∴面面，
∴面，.     2分
设，则.
∴，∴.           4分
又，∴ 平面.          6分
（2）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，

则，
，.          8分
由（1）知，平面，
∴可取平面的法向量.
设平面的法向量为，
由
∴可取.          10分
设锐二面角的大小为，
则.
∴所求锐二面角的余弦值为.          12分