题目内容
如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2,底面正方形两条对角线相交于O点,M是侧棱PC的中点.
(1)求此正四棱锥的体积.
(2)求直线BM与侧面PAB所成角θ的正弦值.
(1)求此正四棱锥的体积.
(2)求直线BM与侧面PAB所成角θ的正弦值.
(1)
(2)
(2)(1)由题可得,PO⊥底面ABCD.
在Rt△AOP中,
∵AO=
AC=
,AP=2,
∴PO=
=
=.
故VP-ABCD=
·S底·PO=×4×=.
(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O点为原点,OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则各点的坐标为A(,0,0),B(0,,0),P(0,0,),M(-
,0,),
∴
=(,,-),
=(-,,0),
=(-,0,).
设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z),
则有
即
取x=1,则y=1,z=1,
∴n=(1,1,1),
∴sinθ=cos(90°-θ)=
=
=.
在Rt△AOP中,
∵AO=
AC=,AP=2,∴PO=
==.故VP-ABCD=
·S底·PO=×4×=.(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O点为原点,OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则各点的坐标为A(
,0,0),B(0,,0),P(0,0,),M(-,0,),∴
=(,,-),=(-,,0),=(-,0,).设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z),
则有
即取x=1,则y=1,z=1,
∴n=(1,1,1),
∴sinθ=cos(90°-θ)=
==.
练习册系列答案
相关题目
.
；
的底面
是等腰梯形，
且
分别是
的中点.
；
的余弦值.
是等腰梯形，
∥
，
，
．在梯形
中，
∥
，且
，
⊥平面
； 
为
，求
的长．
的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．
为何值时，CD⊥AB；
