Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）推导出，，从而平面，进而，再证出，从而平面，，再由，能证明平面．
（II）由两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

详解：

（1）证明：∵底面，平面，

∴

由于底面为长方形

∴，而，

∴平面

∵平面

∴

∵，为中点，

∴，

∵，

∴平面

∴，

又

∴平面

（2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，

建立如图空间直角坐标系，可得

设，则有

∴

∴

设平面的法向量，由，则

令，则

∴

由（1）平面，

∴为平面的法向量

设二面角为，则

故

所以二面角的正弦值为.