题目内容
【题目】时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.
（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式——全概率公式.其特殊情况如下：如果事件
相互对立并且
，则对任一事件B有
.设
表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率.
①用
表示
；
②王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；（2）①
；②有，理由见解析
【解析】
（1）根据二项分布计算出行方式与前一天相同的概率，再计算
的可能取值对应的概率，得出分布列；
（2）①根据全概率公式计算
，
②根据①判断
是等比数列，计算的通项，得出结论．
解：（1）设一把抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为
，则
，
，
.
由已知随机变量X的可能取值为1，2，3；
；
；
或
，
所以随机变量X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
（2）①设
表示事件“第
天王先生选择的是骑自行车出行方式”，
表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知
，即.
②由①知
，又
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
.
因为
恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开小车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开小车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召.
【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：
0项 | 1项 | 2项 | 3项 | 4项 | 5项 | 5项以上 | |
理科生（人） | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生（人） | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
（1）完成如下
列联表，并判断是否有
的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？
比较了解 | 不太了解 | 合计 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合计 |
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.
（i）求抽取的文科生和理科生的人数；
（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用
表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.
参考数据：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，
.
