Question

【题目】如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，直线与直线交于点P，，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根据题意得到，将点代入椭圆方程，结合，得到关于的方程组，解出，得到答案；（2）根据得到，从而得到，根据对称性得到与椭圆的另一个交点的坐标与的关系，从而得到，得到，再结合直线与椭圆联立后得到的，，从而得到关于的斜率的方程，得到答案.

解（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，，

所以，

把点代入椭圆方程，得到

而在椭圆中，

解得，

所以所求的椭圆的标准方程为：.

（2）设交椭圆于另一点M，

因为，，

所以，

所以，所以，

根据对称性可知点和点关于原点对称，

所以

所以得到，

设，

所以，

设直线，代入椭圆方程得

，

，，

所以有

所以，

解得，

由，可知，

故.

所以的斜率为1．