Question

15．由正弦的和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ与正弦二倍公式sin2α=2sinαcosα．求①sin3α=3sinα-4sin³α（用sinα表示）；②利用二倍角和三倍角公式及$sinα=cos（\frac{π}{2}-α）$，求sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式，证得三倍角的正弦公式．
（2）设α=18°，则cos3α=sin2α，利用三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式展开化简可得sinα的值．

解答 解：（1）∵sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα-cos2αsinα=2sinα•cos²α-（1-2sin²α）sinα=2sinα•（1-sin²α）-（1-2sin²α）sinα
=3sinα-4sin³α
（2）设α=18°，则5α=90°，从而3α=90°-2α，
于是cos3α=cos（90°-2α），
即cos3α=sin2α，展开得4cos³α-3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，
∴4cos²α-3=2sinα，化简得4sin²α+2sinα-1=0，解得sinα=$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$．
再根据sinα＞0，可得sinα=$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$，
故答案为：3sinα-4sin³α； $\frac{{\sqrt{5}-1}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的公式、诱导公式的应用，属于中档题．