Question

3．（1）已知a，b分别是方程2^x+x-5=0和log₂x+x-5=0的解，求a+b的值；
（2）已知a，b分别是方程2x+2^x=5和2x+log₂（x-1）=5的解，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）方程2^x+x-5=0和log₂x+x-5=0的解，分别是y=5-x的图象与函数y=2^x，y=log₂x图象的交点，根据反函数的图象的对称性，可得a+b的值；
（2）程2x+2^x=5和2x+log₂（x-1）=5可化为${2^{x-1}}=\frac{3}{2}-（x-1）$，${log_2}（x-1）=\frac{3}{2}-（x-1）$，利用换元法，结合（1）中结论，可得a+b的值；

解答 解：（1）方程2^x+x-5=0的解，即为函数y=2^x与y=5-x的图象的交点，
方程log₂x+x-5=0的解，即为函数y=log₂x与y=5-x的图象的交点，
由y=2^x与y=log₂x互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
故a+b=5…（6分）
（2）方程2x+2^x=5和2x+log₂（x-1）=5可化为${2^{x-1}}=\frac{3}{2}-（x-1）$，${log_2}（x-1）=\frac{3}{2}-（x-1）$，
令t=x-1，则${2}^{t}=\frac{3}{2}-t$，$lo{g}_{2}t=\frac{3}{2}-t$，
由（1）得：方程${2}^{t}=\frac{3}{2}-t$，$lo{g}_{2}t=\frac{3}{2}-t$的两根m，n满足m+n=$\frac{3}{2}$
∴$（a-1）+（b-1）=\frac{3}{2}$$?a+b=\frac{7}{2}$…（13分）

点评 本题考查的知识点是反函数，正确理解并熟练掌握互为反函数的两个函数图象的对称性，是解答的关键．