Question

（2013•和平区二模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

2

，点D为A₁C₁的中点．
（I）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（II）求证：A₁C⊥平面AB₁D；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）连接A₁B，交AB₁于O点，连接OD，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得OD∥BC₁，进而由线面平行的判定定理得到BC₁∥平面AB₁D；
（II）由直棱柱的几何特征可得A₁A⊥B₁D，由等边三角形三线合一可得B₁D⊥A₁C₁，进而由线面垂直的判定定理得到B₁D⊥平面AA₁C₁C，再由三角形相似得到A₁C⊥AD后，可证得A₁C⊥平面AB₁D．
（III）由（I）中OD∥BC₁，可得异面直线AD与BC₁所成角即∠ADO，解△ADO可得答案．

解答：证明：（I）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连接A₁B，交AB₁于O点，连接OD
∵在△A₁BC₁中，A₁D=DC₁，A₁O=OB，
∴OD∥BC₁，
又∵OD?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D；
∴BC₁∥平面AB₁D；
（II）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁；
∵B₁D?平面A₁B₁C₁；
∴A₁A⊥B₁D
在△A₁B₁C₁中，D为A₁C₁的中点
∴B₁D⊥A₁C₁
又∵A₁A∩A₁C₁=A₁，A₁A，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C，
又∵A₁C?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥A₁C
又∵

A1D

AA1

=

AA1

AC

=

2

2

∴∠DA₁A=∠A₁AC=90°
∴△DA₁A∽△A₁AC，∠ADA₁=∠CA₁A
∵∠DA₁C+∠CA₁A=90°
∴∠DA₁C+∠ADA₁=90°
∴A₁C⊥AD
又∵B₁D∩AD=D，B₁D，AD?平面AB₁D；
∴A₁C⊥平面AB₁D；
解：（III）由（I）得，OD∥BC₁，
故AD与BC₁所成的角即为∠ADO
 在△ADO中，AD=

3

，OD=

1

2

BC₁=

6

2

，AO=

1

2

A₁B=

6

2

，
∵AD²=OD²+AO²，OD=AO
∴△ADO为等腰直角三角形
故∠ADO=45°
即异面直线AD与BC₁所成角等于45°

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，（I）的关键是证得OD∥BC₁，（II）的关键是熟练掌握线面垂直与线线垂直之间的转化，（III）的关键是得到异面直线AD与BC₁所成角即∠ADO．