Question

如图，在四边形ABCD中，R），，，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．求：
（1）λ的值；
（2）的值．

Answer 1

（1）因为，所以BC∥AD，且．
因为，所以．
又，所以．
作AH⊥BD于H，则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，得，于是∠ABH=30°．
所以∠ADB=∠DBC=30°．
而∠BDC=90°，所以BD=BCcos30°，即，解得λ=2．
（2）由（1）知，∠ABC=60°，|
所以与的夹角为120°．
故．
分析：（1）由题意可知且△ABD是三边分别为2，2，的等腰三角形，利用已知条件可得∠ABD=30°，从而可得∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，解直角三角形可得λ
（2）由（1）知，∠ABC=60°，||=4，从而可得的夹角120⁰，代入向量的数量积公式，即可．
点评：本题考查了平面向量共线的条件，向量减法的平行四边形法则，平面向量的夹角及数量积的定义，要注意求两向量的夹角时，一定要保证两向量共起点，避免夹角的求解错误．