Question

4．已知圆锥曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）和定点$A（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，且F₁，F₂分别为圆锥曲线C的左右焦点．
（Ⅰ）求过点F₂且垂直于直线AF₁的直线l的参数方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，将C的方程变形为普通方程，可得圆锥曲线C为椭圆，可得F₁，F₂的坐标，由直线的斜率公式可得直线AF₁的斜率，进而由直线的点斜式方程可得直线l的普通方程，将其化为参数方程即可得答案；
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理得7t²-4t-4=0，设M，N两点所对应的参数分别为t₁，t₂，由根与系数的关系分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知将曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）化为普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
则圆锥曲线C为椭圆，且F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵$A（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，∴${k_{A{F_1}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}-0}}{0-（-1′）}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∵l⊥AF₁，∴${k_l}=-\sqrt{3}$，∴l的倾斜角为120°
又∵过点F₂（1，0）∴l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos{120°}\\ y=tsin{120°}\end{array}\right.$（t为参数）
即l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理得7t²-4t-4=0．
设M，N两点所对应的参数分别为t₁，t₂，
则由韦达定理有${t_1}+{t_2}=\frac{4}{7}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{7}$
∴$|MN|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（\frac{4}{7}）}^2}-4×（-\frac{4}{7}）}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$

点评 本题考查直线、椭圆的参数方程，关键是将参数方程变形为普通方程．