Question

设函数f（x）=x（x-1）²，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），则函数G（a）=

F(a)

a

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：求f′（x），通过判断f′（x）的符号求出函数f（x）的单调区间：f（x）在(-∞，

1

3

]，[1，+∞)上单调递增，在(

1

3

，1)上单调递减．所以可以判断出f（x）取得极值的情况：f（

1

3

）=

4

27

是f（x）的极大值，令f（x）=x(x-1)2=

4

27

，可以求得该方程的另一根x=

4

3

，从而可以弄清怎样讨论a的值：0＜a≤

1

3

时，F（a）=a（a-1）²；

1

3

＜a≤

4

3

时，F（a）=

4

27

；a＞

4

3

时，F（a）=a（a-1）²，从而求出G（a）=

(a-1)2 0＜a≤ 1 3 4 27a 1 3 ＜a≤ 4 3 (a-1)2 a＞ 4 3

，所以根据二次函数及反比例函数单调性求出每段上的函数的最小值或函数值的范围即可．

解答： 解：f′（x）=3x2-4x+1=3(x-1)(x-

1

3

)；
∴x∈(-∞，

1

3

)，（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（

1

3

，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，

1

3

]，[1，+∞）上单调递增，在(

1

3

，1)上单调递减；
∴①若0＜a≤

1

3

，则f（x）在（0，a]上单调递增；
∴F（a）=f（a）=a（a-1）²；
②若a＞

1

3

，∵x＜

1

3

时，f′（x）＞0，x＞

1

3

时，f′（x）＜0；
∴f(

1

3

)=

4

27

是f（x）的极大值；
令f（x）=x(x-1)2=

4

27

，即：
x3-2x2+x-

4

27

=0，则该方程有三个实数根，其中x=

1

3

是二重根，不妨设另一根是b，则：
（x-b）(x-

1

3

)2=0，所以该方程与上面的方程是同一方程，所以：
该方程的常数项为-

b

9

=-

4

27

，∴b=

4

3

；
即f（

4

3

）=

4

27

；
∴当1＜a≤

4

3

时，F（a）=

4

27

；
当a＞

4

3

时，f（x）在(

4

3

，a]上单调递增；
∴此时f（x）＞f(

4

3

)=

4

27

；
∴F（a）=f（a）=a（a-1）²；
综上得：G（a）=

(a-1)2 0＜a≤ 1 3 4 27a 1 3 ＜a≤ 4 3 (a-1)2 a＞ 4 3

；
∴0＜a≤

1

3

时，（a-1）²的最小值是(

1

3

-1)2=

4

9

；

1

3

＜a≤

4

3

时，

4

27a

的最小值是a=

4

3

对应的值

1

9

；
a＞

4

3

时，(a-1)2＞

1

9

；
∴G（a）的最小值为

1

9

．
故答案为：

1

9

．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极大值的概念，以及利用导数求最大值的方法：求导求出函数的极大值，然后和端点值比较，为便于求解可画出f（x）的草图．