Question

设f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2.若f(θ)＜0在θ∈[0，

π

2

]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函数关系，可将函数的解析式化为f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三种情况，讨论函数的最大值，最后汇总讨论结果，即可得到答案．

解答：解：设f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0对θ∈[0，

π

2

]总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1，
令t=sinθ∈[0，1]，g（t）=-（t-m）²+m²-2m-1
∴当0≤m≤1时，函数的最大值为m²-2m-1＜0，解得0≤m≤1；
当m＞1时，函数的最大值为g（1）＜0，得m＞1．
∴m≥1时均成立；
当m＜0时，函数的最大值为g（0）=-4m-2＜0，m＞-

1

2

．
综上得m的取值范围是m∈（-

1

2

，+∞）．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．