Question

已知函数f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，可得 2x₀+

π

6

=kπ，k∈z．由此可得g（2x₀）=1+

1

2

sin（4x₀）
=1+

1

2

sin（2kπ-

π

3

）的值．
（2）化简函数h（x）=f（x）+g（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

）．令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范围，可得函数h（x）的增区间，再由x∈[0，

π

4

]，进一步确定函数h（x）的增区间．

解答：解：（1）由于函数f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴cos（2x₀+

π

6

）=±1，2x₀+

π

6

=kπ，k∈z．
故 g（2x₀）=1+

1

2

sin（4x₀）=1+

1

2

sin（2kπ-

π

3

）=1+

1

2

•sin（-

π

3

）=1+

1

2

×（-

3

2

）=1-

3

4

．
（2）化简函数h（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

•

3

2

cos2x-

1

2

•

1

2

sin2x+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

4

sin2x+

3

4

cos2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

 ）．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得  kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故函数h（x）的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
再由x∈[0，

π

4

]，可得函数h（x）的增区间为[0，

π

12

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，复合函数的单调性，属于中档题．