Question

已知0＜ω＜2，设f（x）=cos²ωx+

3

sinωxcosωx
（1）若f（x）的周期为2π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）图象的一条对称轴为x=

π

6

，求ω的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用周期计算公式，求得ω值，最后通过解不等式求得函数的单调增区间；
（2）利用函数y=sinx的对称轴方程为x=kπ+

π

2

，将f（x）的对称轴代入内层函数得ω的值，再由已知范围，确定ω的值

解答：解：（1）f（x）=cos²ωx+

3

sinωxcosωx
=

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

sin2ωx
=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

由T=

2π

2ω

=2π，得ω=

1

2

∴f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z
（2）∵x=

π

6

是函数图象的一条对称轴，
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，即ω=3k+1，k∈Z
又0＜ω＜2，
∴当k=0时，ω=1即为所求

点评：本题考查了三角变换公式在化简三角函数式中的应用，y=Asin（ωx+φ）型函数的周期性和单调性、对称性，整体代入的思想方法