Question

9．如图，PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，BC∥AD，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（1）若AD=DC，求异面直线PA，BC所成的角；
（2）求PB与平面PDC所成角大小；
（3）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线所成角的定义进行求解，
（2）根据直线和平面所成角的定义进行求解，
（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角进行求解．

解答 （1）解：由已知得异面直线PA，BC所成的角为直线PA与AD所成的角为∠PAD=45°
（2）解：由已知得BC与平面PDC垂直，所以PB与平面PDC所成角为∠CPB=45°
（3）解：取PC中点E，连接DE，则DE⊥PC
由于BC⊥平面PDC，所以PBC⊥平面PDC，从而DE⊥平面C，做EF⊥PB于点F，连接DF，可得DF⊥PB
所以∠DFE为二面角D-PB-C的平面角．
计算可得DE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$．
所以二面角D-PB-C的正切值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查空间角的计算，涉及根据异面直线，线面角以及二面角的定义分别作出对应的平面角是解决本题的关键．