Question

已知点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是

1. A.
   （0，-1）
2. B.
   （-1，1）
3. C.
   （0，-1）
4. D.
   （-l，1）

Answer 1

B
分析：由题设知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，），B（-c，-），由△ABF₂是锐角三角形，知tan∠AF₂F₁＜1，所以，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．
解答：∵点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，），B（-c，-），
∵△ABF₂是锐角三角形，
∴∠AF₂F₁＜45°，∴tan∠AF₂F₁＜1，
∴，
整理，得b²＜2ac，
∴a²-c²＜2ac，
两边同时除以a²，并整理，得e²+2e-1＞0，
解得e＞，或e＜-，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．
故选B．
点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．