Question

设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)＝x³＋ax与g(x)＝bx²＋c的图象的一公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．

(1)用t表示a、b、c；

(2)若函数y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上单调递减，求t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)因为函数f(x)、g(x)的图象都过点(t，0)，所以f(t)＝0， 　　即t3＋at＝0．因为t≠0，所以a＝－t2． 　　g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab． 　　又因为f(x)、g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以(t)＝(t)．而(t)＝3x2＋a，(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt． 　　将a＝－t2，代入上式得b＝t． 　　因此c＝ab＝－t3，故a＝－t2，b＝t，c＝－t3． 　　(2)方法一：y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)． 　　当＝(3x＋t)(x－t)＜0时，函数y＝f(x)－g(x)单调递减． 　　由＜0，若t＞0，则＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜． 　　由题意，函数y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上单调递减，则(－1，3)(，t)或(－1，3)(t，)． 　　所以t≥3或≥3，即t≤－9或t≥3． 　　又当－9＜t＜3时，函数y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上单调递减． 　　所以t的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)． 　　方法二：y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t) 　　因为函数y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上单调递减，且＝(3x＋t)(x－t)是(－1，3)上的抛物线． 　　所以即解得t≤－9或t≥3． 　　所以t的取值范围为(－∞，－9)∪[3，＋∞)．