Question

14．已知函数g（x）=4^2x-5•2^2x+1+16，函数f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₄（4x²），记集合A={x|g（x）≤0}．
（ I）求集合A；
（ II）当x∈A时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由g（x）≤0得4^2x-5•2^2x+1+16≤0，然后利用换元法解一元二次不等式即可得答案；
（Ⅱ）化简函数f（x），然后利用换元法求解即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由集合A={x|g（x）≤0}，
得g（x）≤0即4^2x-5•2^2x+1+16≤0，
则4^2x-10•4^x+16≤0，
令t=4^x，即有t²-10t+16≤0，
得（t-2）（t-8）≤0，即2≤t≤8，2≤4^x≤8，${4^{\frac{1}{2}}}≤{4^x}≤{4^{\frac{3}{2}}}$，
解得$A=\{x|\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}\}$；
（Ⅱ）$f（x）=（{log_2}-{log_2}4）（{log_4}4-{log_4}{x^2}）=（{log_2}x-2）（{log_2}x+1）$，
令$u={log_2}x∈[-1，{log_2}\frac{3}{2}]$
则$y={u^2}-u-2，u∈[-1，{log_2}\frac{3}{2}]$，
二次函数的对称轴${u_0}=\frac{1}{2}∈[-1，{log_2}\frac{3}{2}]$，
∴$y∈[-\frac{9}{4}，0]$．

点评 本题考查了指、对数不等式的解法，考查了会用换元法解决问题，是中档题．