Question

使得关于x的不等式a^x≥x≥log_ax（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立的正实数a的取值范围是

．

Answer 1

分析：分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论，由题意可得y=a^x与y=log_ax互为反函数，故问题等价于a^x≥x（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立，利用导数进行解决

解答：解：当a＞1，由题意可得y=a^x与y=log_ax互为反函数，故问题等价于a^x≥x（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立
构造函数f（x）=a^x-x，则f′（x）=a^xlna-1=0，得x=loga

1

lna

，且此时函数f（x）取到最小值，故有aloga

1

lna

-loga

1

lna

≥0，解得a≥e

1

e

当0＜a＜1时，不符合条件，舍去，
故答案为a≥e

1

e

．

点评：本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．