Question

4．若关于x的方程$\frac{{x}^{2}}{lnx}$+ax=0有解，则实数a的取值范围是（-∞，-e]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 将方程转化为函数，利用导数求函数的极值和最值即可得到结论．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{lnx}$+ax=0得a=-$\frac{x}{lnx}$，
设f（x）=-$\frac{x}{lnx}$，
则f'（x）=-$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
由f'（x）＞0得0＜x＜1或1＜x＜e，函数在（0，1）和（1，e）单调递增，
x∈（0，1）时，f（x）＞0；x∈（1，e）时，f（x）＜-e；
由f'（x）＜0得x＞e，此时函数单调递减，
即当x=e时，函数取得极大值，f（e）=-e．
f（x）的值域为（-∞，-e]∪（0，+∞）
∴要使关于x的方程$\frac{{x}^{2}}{lnx}$+ax=0有解，
则a≤-e或a＞0
故答案为：（-∞，-e]∪（0，+∞）．

点评 本题主要考查方程和函数关系的应用，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．