Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，两焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，且△ABF₁内切圆的半径为a，则此双曲线的离心率为

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：欲求双曲线的离心率，只须建立a，c的关系式即可，由双曲线的定义得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，从而△ABF₁周长为：2|AB|+4a，利用△ABF₁内切圆的半径为a，得到△ABF₁面积为：S=

1

2

（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=

1

2

|AB|×2c，由面积相等即可建立a，c的关系，即可求得此双曲线的离心率．

解答：解：由双曲线的定义得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a两式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在双曲线中，|AB|=2×

b2

a

，
∴△ABF₁周长为：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×

b2

a

+4a，
∵△ABF₁内切圆的半径为a，
∴△ABF₁面积为：S=

1

2

（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S=

1

2

|AB|×2c，
∴

1

2

（4×

b2

a

+4a）×a=

1

2

|AB|×2c
即c²-a²=ac
解得：e=

c

a

=

1+ 5

2

，则此双曲线的离心率为

1+ 5

2

．
故答案为：

1+ 5

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率和三角形内切圆的性质，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘，注意应用三角形面积的不同计算方法建立关于a，b，c的等式求离心率．