Question

1．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1（ω＞0）在x∈[0，π]恰有3个零点，则实数ω取值范围为（　　）

• A． [$\frac{5}{3}$，$\frac{8}{3}$]
• B． [2，$\frac{8}{3}$）
• C． [$\frac{5}{3}$，2]
• D． [$\frac{5}{3}$，2）

Answer 1

分析 令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1=0可解得ωx=2kπ或ωx=2kπ+$\frac{2π}{3}$，从而写出非负根中较小的有0，$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{2π}{ω}$，$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$；从而可得$\frac{2π}{ω}$≤π且$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$＞π；从而解得．

解答 解：令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1=0得，
sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
则ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+π-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
则ωx=2kπ或ωx=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
则x=$\frac{2kπ}{ω}$或x=$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{2π}{3ω}$；
则非负根中较小的有：
0，$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{2π}{ω}$，$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$；
则$\frac{2π}{ω}$≤π且$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$＞π；
故2≤ω＜$\frac{8}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，同时考查了三角函数的求值应用，属于中档题．