Question

19．已知数列a_n=n³-10n²+32n（n∈N^*），给定n，若对任意正整数m＞n，恒有a_m＞a_n，则n的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．

解答 解：令f（x）=x³-10x²+32x，（x≥1）．
则f′（x）=3x²-20x+32=（3x-8）（x-4），
令f′（x）＞0，解得x＞4或$1≤x＜\frac{8}{3}$，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得$\frac{8}{3}＜x＜$4，此时函数f（x）单调递减．
而f（1）=a₁=23，f（4）=a₄=32．
∴数列{a_n}的最小值为a₁，
∵对任意正整数m＞n，恒有a_m＞a_n，则n的最小值为1．
故选：A．

点评 本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．