已知二次函数f(x)=ax2+x-c.a.c的等差中项是2.a是边长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圆半径．的解析式,(2)若数列{an}满足${a 1}=1.3{a {n+1}}=1-\frac{1}{{f-\frac{3}{2}}}$.求数列{an}的通项公式,(3)设${b n}=\frac{1}{a n}$.在(2)的条件下.若数列{bn}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知二次函数f（x）=ax²+x-c（其中a，c∈R），a，c的等差中项是2，a是边长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圆半径．（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足${a_1}=1，3{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{f（{a_n}+1）-f（{a_n}）-\frac{3}{2}}}（n∈{N^*}）$，求数列{a_n}的通项公式；
（3）设${b_n}=\frac{1}{a_n}$，在（2）的条件下，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．

分析（1）由正三角形的性质可得a=$\frac{3}{2}$，再由等差数列的性质可得a+c=4，即可得到c，进而得到二次函数的解析式；
（2）求出f（a_n+1），f（a_n），代入已知的等式中化简得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式后可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求出cos（b_nπ），然后分n为偶数和奇数，讨论求解数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．

解答解：（1）a是边长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圆半径，
可得a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}$，
由a，c的等差中项是2，可得a+c=4，解得c=$\frac{5}{2}$，
则f（x）=$\frac{3}{2}$x²+x-$\frac{5}{2}$；
（2）∵f（an+1）-f（an）=$\frac{3}{2}$（a_n+1）²+（a_n+1）-$\frac{3}{2}$a_n²-a_n=3a_n+$\frac{5}{2}$．
由${a_1}=1，3{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{f（{a_n}+1）-f（{a_n}）-\frac{3}{2}}}（n∈{N^*}）$
=1-$\frac{1}{3{a}_{n}+1}$=$\frac{3{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$．
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为1，公差为3的等差数列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
即有a_n=$\frac{1}{3n-2}$；
（3）∵b_n=3n-2，
∴cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=2k-1}\\{1，n=2k}\end{array}\right.$k为正整数，
即S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿS_n，
∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-…+（-1）ⁿS_n．
①当n为偶数时，T_n=（-S₁+S₂）+（-S₃+S₄）+…+（-S_n-1+S_n）
=b₂+b₄+…+b_n=$\frac{3{n}^{2}+2n}{4}$；
②当n为奇数时，
T_n=T_n-1-S_n=$\frac{3（n-1）^{2}+2（n-1）}{4}$-$\frac{n（3n-1）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}-2n+1}{4}$．
综上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-3{n}^{2}-2n+1}{4}，n为奇数}\\{\frac{3{n}^{2}+2n}{4}，n为偶数}\end{array}\right.$．