题目内容

1．（理）已知${（{x+1}）^{10}}={a_1}+{a_2}x+{a_3}{x^2}+…+{a_{11}}{x^{10}}$．若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是6．

分析 根据二项式定理可得a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，且数列a1，a2，a3，…，ak是一个单调递增数列，可得k的最大值是6．

解答 解：由二项式定理，得${a_1}=C_{10}^{10}，{a_2}=C_{10}^9，{a_3}=C_{10}^8，{a_4}=C_{10}^7，{a_5}=C_{10}^6，{a_6}=C_{10}^5$，
${a_7}=C_{10}^4$，…，${a_{10}}=C_{10}^1，{a_{11}}=C_{10}^0$，
因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，且数列a1，a2，a3，…，ak是一个单调递增数列，
所以k的最大值是6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．

练习册系列答案
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A．390B．590C．780D．295

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