题目内容

已知 $数学公式$ =（2cosx+2 $数学公式$ sinx，1）， $数学公式$ =（cosx，-y），且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（ $数学公式$ ）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

解：（1）由题意可得（2cosx+2 $\text{[math]}$ sinx）cosx-y=0，
即y=f（x）=（2cosx+2 $\text{[math]}$ sinx）cosx=2cos²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx
=1+cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=1+2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z
（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
故f（ $\text{[math]}$ ）=1+2sin（A+ $\text{[math]}$ ）=3，解得sin（A+ $\text{[math]}$ ）=1
故可得A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得A= $\text{[math]}$ ，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bccosA，
化简可得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
解得bc=4，故△ABC的面积S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，可得单调递增区间；
（2）结合（1）可得f（ $\text{[math]}$ ）=1+2sin（A+ $\text{[math]}$ ）=3，进而可得A= $\text{[math]}$ ，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式S= $\text{[math]}$ ，计算可得答案．
点评：本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题．