Question

设函数f(x)是实数集R上的增函数，令F(x)＝f(x)－f(2－x)．

(1)求证：F(x)在R是增函数；

(2)若F(x₁)＋F(x₂)＞0，求证：x₁＋x₂＞2．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：(1)任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，

　　∵f(x)在R上是增函数，

　　∴f(x₁)＜f(x₂)，f(2－x₁)＞f(2－x₂)，

　　即f(x₁)－f(x₂)＜0，f(2－x₁)－f(2－x₂)＞0．

　　∴F(x₁)－F(x₂)＝[f(x₁)－f(2－x₁)]－[f(x₂)－f(2－x₂)]

　　＝[f(x₁)－f(x₂)]＋[f(2－x₂)－f(2－x₁)]＜0，

　　即F(x₁)＜F(x₂)．

　　∴F(x)在R上是增函数．

　　(2)∵F(x₁)＋F(x₂)＞0，

　　∴F(x₁)＞－F(x₂)．

　　而－F(x₂)＝－[f(x₂)－f(2－x₂)]

　　＝f(2－x₂)－f(x₂)

　　＝f(2－x₂)－f[2－(2－x₂)]

　　＝F(2－x₂)．

　　∴F(x₁)＞F(2－x₂)．

　　又∵F(x)在R上是增函数，

　　∴x₁＞2－x₂，即x₁＋x₂＞2．

　　思路分析：无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，主要用“定义法”，要是比较自变量的大小，一般用单调性定义的逆命题．这就是解题思路，在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜．