Question

【题目】已知函数.

（1）求证：是上的奇函数；

（2）求的值；

（3）求证：在上单调递增，在上单调递减；

（4）求在上的最大值和最小值；

（5）直接写出一个正整数，满足．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）利用奇偶性的定义证明即可；

（2）代值计算即可得出的值；

（3）任取，作差，通分、因式分解后分和两种情况讨论的符号，即可证明出结论；

（4）利用（3）中的结论可求出函数在区间上的最大值和最小值；

（5）可取满足的任何一个整数，利用函数的单调性和不等式的性质可推导出成立.

（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，

且，因此，函数是上的奇函数；

（2）；

（3）任取，.

当时，，，，则；

当时，，，，则.

因此，函数在上单调递增，在上单调递减；

（4）由于函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取最大值，即；

当时，，

所以，当时，函数取最小值，即.

综上所述，函数在上的最大值为，最小值为；

（5）由于函数在上单调递减，

当时，，

所以，满足任何一个整数均满足不等式.

可取，满足条件.