Question

（本题满分为12分）

在四棱锥中，底面，,,,,是的中点．

（I）证明：；

（II）证明：平面；

（III）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）关键证明面，（II）平面.（III）

【解析】

试题分析：（I）证明：底面，.又面，

面，.                                                （3分）

（II）证明：,是等边三角形，，又是 的中点，，又由（1）可知，

面

又底面，，

又面

平面.                                                           （6分）

（III）解：由题可知两两垂直,

如图建立空间直角坐标系,

设，则

.

设面的一个法向量为

 

即 取则，即

（9分）

设面的一个法向量为

 

即 取则即

由图可知二面角的余弦值为．             （12分）

考点：直线与平面垂直的判定定理；二面角的平面角

点评：在立体几何中，证明直线与直线垂直、直线与平面垂直常用到直线与平面垂直的判定定理。另外，假如几何体是规则的图形，还是建立空间直角坐标系，用向量去解决问题较方便。