Question

（本小题共l2分）

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P＝A₁C₁，连接AP交棱CC₁于D．

（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；

（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值；

Answer 1

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．

解法一：

（Ⅰ）连结AB₁与BA₁交于点O，连结OD，

∵C₁D∥平面AA₁，A₁C₁∥AP，∴AD=PD，又AO=B₁O，

∴OD∥PB₁，又ODÌ面BDA₁，PB₁Ë面BDA₁，

∴PB₁∥平面BDA₁．

（Ⅱ）过A作AE⊥DA₁于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA₁，且AA₁∩AC=A，

∴BA⊥平面AA₁C₁C．由三垂线定理可知BE⊥DA₁．

∴∠BEA为二面角A－A₁D－B的平面角．

在Rt△A₁C₁D中，，

又，∴．

在Rt△BAE中，，∴．

故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值为．

解法二：

如图，以A₁为原点，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A₁－B₁C₁A，则，，，，．

（Ⅰ）在△PAA₁中有，即．

∴，，．

设平面BA₁D的一个法向量为，

则令，则．

∵，

∴PB₁∥平面BA₁D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA₁D的一个法向量．

又为平面AA₁D的一个法向量．∴．

故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值为．