Question

已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若，则m=    ．（用θ表示）

Answer 1

【答案】分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得，代入已知的等式中，连接OD，可得⊥，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函数表示出m．
解答：解：取AB中点D，则有，
代入得：
，
由⊥，得•=0，
∴两边同乘，化简得：
，
即，
由正弦定理==化简得：
C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
==sinA，
又∠A=θ，
则m=sinθ．
故答案为：sinθ

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．