Question

已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=

π

4

，其外接圆半径为R，若

cosB

c

•

AB

+

cosC

b

•

AC

=

1

2R

m 

AO

，则m=

2

．

Answer 1

分析：先把等式中向量用

OA

、

OB

、

OC

表示出来，然后两边同与向量

OA

作数量积运算，结合正弦定理化边为角即可求得m值．

解答：解：由

cosB

c

•

AB

+

cosC

b

•

AC

=

1

2R

m 

AO

，得

cosB

c

(

OB

-

OA

)+

cosC

b

(

OC

-

OA

)=

1

2R

m

AO

，
两边同时乘向量

OA

，得

cosB

c

(

OB

•

OA

-

OA

2)+

cosC

b

(

OC

•

OA

-

OA

2)=

1

2R

m

AO

•

OA

，
即

cosB

c

(R2cos2C-R2)+

cosC

b

(R2cos2B-R2)=-

1

2R

mR²，
所以

cosB

c

(-2sin2C)+

cosC

b

(-2sin2B)=-

1

2R

m，
由正弦定理可得，

cosB

sinC

(-2sin2C)+

cosC

sinB

(-2sin2B)=-m，
所以-2sinCcosB-2sinBcosC=-m，即2sin（B+C）=m，也即2sinA=2sin

π

4

=m，
所以m=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查平面向量的基本定理、向量数量积运算、正弦定理等知识，本题解答的关键是两边同乘向量

OA

，具有一定技巧．