Question

8．设函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x+a-1（a∈R，a是常数）$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）$若f（x）在[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]上的最大值与最小值之和为\sqrt{3}，求实数a的值$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性求出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最值，结合最大值与最小值之和为$\sqrt{3}$，可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+a-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）的最大值为2+a，
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$+a．
根据最大值与最小值之和为$\sqrt{3}$，可得2+a+（-$\sqrt{3}$+a）=$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．