Question

10．已知等差数列{a_n}中，a₂=3，a₄=7，若b_n=a_2n，
（1）求b_n；
（2）求$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义求出公差d=2，再求出首项，即可求出b_n，
（2）根据裂项求和即可求出答案．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，a₂=3，a₄=7，
∴a₄=a₂+2d，
∴7=3+2d，
解得d=2，
∴a₁=a₂-d=1，
∴b_n=a_2n=1+2（2n-1）=4n-1，
（2）由（1）可得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和裂项求和，属于中档题．