Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A．（1，2）
• B．(1，

  2

  3

  3

  )
• C．[2，+∞）
• D．[

  2

  3

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即

b

a

＜

3

3

，求得a和b的不等式关系，进而根据b=

c2-a2

转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答：解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即

b

a

＜tan30°=

3

3

，即b＜

3

3

a
∵b=

c2-a2

∴

c2-a2

＜

3

3

a，
整理得c＜

2 3

3

a
∴e=

c

a

＜

2 3

3

∵双曲线中e＞1
故e的范围是（1，

2 3

3

）
故选B．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．