Question

（本题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：.

Answer 1

（1）（2）（3）略

（Ⅰ）∵，则。
当时，；当时，。
∴在上单调递增，在上单调递减 ∴在取极大值
∵在区间（其中）上存在极值
∴   ∴即m的取值范围为。
（Ⅱ），记
则
令，则  ∵ ∴ 
∴在上单调递增   ∴  从而  
∴在上也单调递增  ∴  
则k的取值范围为。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，即，
令，则，
∴，，…，
叠加得：……

∴…    ∴。