Question

【题目】已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．

（1）当时，求△的面积的最小值；

（2）若且，证明：直线过定点，并求定点坐标。

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

设出所在的直线方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，得出点坐标，设出直线的方程，代入抛物线方程，同理得出点坐标. （1）利用面积公式求得面积的表达式，并利用基本不等式求得面积的最小值.（2）先求得直线的斜率，根据点斜式求得直线所在直线方程，利用的表达式进行化简，由此求得定点.

所在直线的方程为，代入中，得，设，则有，从而．则．设所在直线的方程为，同理可得．

（1），． 又，故，于是△的面积 ，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为.

（2），所在直线的方程为，

即．又，即，代入上式，得，即 ．∵，∴是此方程的一组解，所以直线恒过定点．