题目内容
【题目】设
外接圆上三段弧
的中点依次为
,其关于
的对称点依次为
.若顶点与对应旁切圆切点的连线交于一点
(界心),
为的垂心，证明：在以
为直径的圆上.
【答案】见解析
【解析】
记
的三边长为
,
,
为的内心.
先证明一个引理.
引理 顶点与界心连线平行且等于2倍内心与其对应边中点的连线.
证明:如图,设为的内心,
为
的中点,
为切点,
为对应角平分线的交点,
为旁切圆的切点,
为界心,
为
与内切圆的交点.
对
与截线
应用梅涅劳斯定理得
.
将
,
,
,代入上式化简得
因为为的中点,为切点,
为旁切圆的切点,所以,
.
由位似变换,知
为
的中点.
故
.
回到原题.如图,延长
与
的延长线交于点
.
由引理,知
，且
所以,为
的中点.
又点
与
关于对称,于是.由对角线互柑平分的性质,知四边形
为平行四边形.
因此, 
.
延长
与外接圆交于点
,联结
.
因为
为垂心,关于的对称点
在外接圆上,所以,
.
于是,
.则
.
从而,四边形
为平行四边形.
又
为外接圆的直径,故
.易知, 
.
所以, 
,
同理, 
,
.故本题得证.
【题目】2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书APP抽样调查了非一线城市
和一线城市
各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.
（1）请填写以下
列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户 | 不活跃用户 | 合计 | |
城市 | |||
城市 | |||
合计 |
临界值表：
| 0.050 | 0.010 |
| 3.841 | 6.635 |
参考公式：
.
（2）以频率估计概率，从城市中任选2名用户，从城市中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为
，求的分布列和数学期望.
【题目】经观测，某昆虫的产卵数
与温度
有关，现将收集到的温度
和产卵数
的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．
|
|
|
|
|
|
275 | 731.1 | 21.7 | 150 | 2368.36 | 30 |
表中
，
（1）根据散点图判断，
，
与
哪一个适宜作为与之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据．
①试求关于回归方程；
②已知用人工培养该昆虫的成本
与温度和产卵数的关系为
，当温度（取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？
附：对于一组数据
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
