Question

已知函数，．

(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

(2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值；

(3)当时，若与的图象有两个交点，求证：．

（取为，取为，取为）

Answer 1

 解：（1）,则，

∵在上单调递增，∴对，都有，

即对，都有，∵，∴，故实数的取值范围是．                           

 (2) 设切点，则切线方程为，

即，亦即，

令，由题意得，……７分

令，则，

当时 ，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

∴，故的最小值为．             ………………１０分

（3）由题意知，，

两式相加得，两式相减得，

即，∴，

即，　　　　　　　　　　　　    …………１２分

不妨令，记，令，则，

 ∴在上单调递增，则，

∴，则，∴，

又，

∴，即，

令，则时，，∴在上单调递增，

又，

∴，则，即．