Question

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=

1

3

GD，GB⊥GC．GB=GC=2，PG=4，E是BC的中点．
（1）求证：PC⊥BG；
（2）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一点，且DF⊥GC，求

CF

CP

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知PG⊥底面ABCD，可得PG⊥BG，结合BG⊥CG，可证得BG⊥面PGC，从而有PC⊥BG；
（2）以G为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得

GE

，

PC

的坐标，利用向量的夹角公式即可求得异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（3）设CF=λCP，求得点F与点D的坐标，从而得到

DF

、

GC

的坐标，由DF⊥GC即可求得

CF

CP

的值．

解答：证明：（1）因为PG⊥底面ABCD，
所以 PG⊥BG，又BG⊥CG，所以BG⊥面PGC，
所以PC⊥BG．                                    （4分）
（2）建立如图空间直角坐标系，各点坐标如图所示，

GE

=（1，1，0），

PC

=（0，2，-4）
∴|cos＜

GE

，

PC

＞|=|

GE • PC

|  GE  || PC |

|=

10

10

．      （8分）
（3）设CF=λCP，
则点F（0，2-2λ，4λ），又D（-

3

2

，

3

2

，0），
∴

DF

=（

3

2

，

1

2

-2λ，4λ），

GC

=（0，2，0），
由DF⊥GC得

DF

•

GC

=0，
∴2（

1

2

-2λ）=0．
得λ=

1

4

，
∴

CF

CP

=

1

4

（14分）

点评：本题异面直线及其所成的角，着重考查空间向量的坐标运算在空间几何中的作用，考查分析转化与数形结合的数学思想，属于难题．