Question

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE，
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小.

Answer 1

解：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x，y、z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 又DE=2PE， ∴， （1）， ∴， ∴异面直线PA与CD所成的角为60°。 （2）， ∴， ， ∴， 又PD∩PC=P， ∴BE⊥平面PCD。 （3）设平面PAD的一个法向量为， 则由，得， 令z=1，则， 又，设平面PBD的法向量为， 则由，得， 令，则， ∴， ∴， 又二面角A-PD-B为锐二面角， 故二面角A-PD-B的大小为60°。