题目内容

定理：若函数在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且，则存在唯一一个。已知

   （1）若是减函数，求a的取值范围。

   （2）是否存在同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由。

（1）

（2）


解析:

（1）

依题意恒成立

即

显然

，故a的取值范围是          …………6分

   （2）由（1）知：当a=1时，上是减函数

且

∴存在唯一   …………8分

同理由上是减函数

且[来源:Zxxk.Com]

知存在

即成立          …………10分

由

及的唯一性知

综上可知，存在c，d使同时成立，

且                 …………13分

练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
（2010•湖北模拟）定理：若函数f（x）在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f（m）f（n）＜0，则存在唯一一个x0∈（m，n）使f（x0）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤
π
2
)是减函数，求a的取值范围．
（2）是否存在c，d∈(0，
π
2
)使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.

（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程：

在（x1,x2）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<a<b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）
已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．

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