题目内容
已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
=0在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，
＜ln
＜
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
| f(b)-f(a) |
| b-a |
当0＜a＜b时，
| b-a |
| b |
| b |
| a |
| b-a |
| a |
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到关于m的代数式．再将m的代数式n代入函数f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2-6mx，当f'（x）＞0时x的取值区间为所求．
（2）由于
=m（x12+x22+x1x2-3x1-3x2）从而f′(x)-
=0，可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2，计算则h（x1）h（x2）＜0，根据零点存在定理得h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，从而得到证明；
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使g′(x0)=
=
，由于函数g′（x）=
的性质即可证得结果．
（2）由于
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使g′(x0)=
| g(b)-g(a) |
| b-a |
| lnb-lna |
| b-a |
| 1 |
| x |
解答：解：（1）因为f'（x）=3mx2+2nx，------（1分）
由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=-3m------（2分）
即f'（x）=3mx2-6mx，由f'（x）＞0知mx（x-2）＞0．
当m＞0时得x＜0或x＞2，f（x）的减区间为（0，2）；-----（3分）
当m＜0时得：0＜x＜2，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（4分）
综上所述：当m＞0时，f（x）的减区间为（0，2）；
当m＜0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（5分）
（2）∵
=m（x12+x22+x1x2-3x1-3x2），------------（6分）
∴f′(x)-
=0，
可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-------（7分）
则h（x1）=（x1-x2）（2x1+x2-3），h（x2）=（x2-x1）（x1+2x2-3），
即h（x1）h（x2）=-（x1-x2）2（2x1+x2-3）（x1+2x2-3）又因为0＜x1＜x2＜1，所以（2x1+x2-3）＜0，（x1+2x2-3）＜0，即h（x1）h（x2）＜0，-----------（8分）
故h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，
即关于x的方程f′(x)-
=0在（x1，x2）恒有实数解-----（9分）
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），-----------（10分）
则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），
使g′(x0)=
=
-----------（11分）
因为g′（x）=
，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（
，
），b-a＞0-----（12分）
即
＜g′(x0)=
=
=
＜
，
∴
＜ln
＜
-----（14分）
由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=-3m------（2分）
即f'（x）=3mx2-6mx，由f'（x）＞0知mx（x-2）＞0．
当m＞0时得x＜0或x＞2，f（x）的减区间为（0，2）；-----（3分）
当m＜0时得：0＜x＜2，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（4分）
综上所述：当m＞0时，f（x）的减区间为（0，2）；
当m＜0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（5分）
（2）∵
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
∴f′(x)-
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-------（7分）
则h（x1）=（x1-x2）（2x1+x2-3），h（x2）=（x2-x1）（x1+2x2-3），
即h（x1）h（x2）=-（x1-x2）2（2x1+x2-3）（x1+2x2-3）又因为0＜x1＜x2＜1，所以（2x1+x2-3）＜0，（x1+2x2-3）＜0，即h（x1）h（x2）＜0，-----------（8分）
故h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，
即关于x的方程f′(x)-
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），-----------（10分）
则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），
使g′(x0)=
| g(b)-g(a) |
| b-a |
| lnb-lna |
| b-a |
因为g′（x）=
| 1 |
| x |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
即
| 1 |
| b |
| g(b)-g(a) |
| b-a |
| lnb-lna |
| b-a |
ln
| ||
| b-a |
| 1 |
| a |
∴
| b-a |
| b |
| b |
| a |
| b-a |
| a |
点评：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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