Question

（2010•湖北模拟）定理：若函数f（x）在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f（m）f（n）＜0，则存在唯一一个x₀∈（m，n）使f（x₀）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤

π

2

)．
（1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤

π

2

)是减函数，求a的取值范围．
（2）是否存在c，d∈(0，

π

2

)使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对函数g（x）求导可达g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a，依题意由g（x）在[0，

π

2

]单调递减可得g′(x)≤0在[0，

π

2

]上恒成立即a≥-cos（cosx）sinx，可求a的取值范围
（2）由（1）知：当a=1时，g(x)=f(cosx)-x在[0，

π

2

]上是减函数且g(0)=sin1＞0，g(

π

2

)=-

π

2

＜0，根据零点判定定理可得存在唯一c∈(0，

π

2

)使g(c)=0即f(cosc)=C，同理知存在d∈(0，

π

2

)使F(d)=0即cosf（d）=d成立，从而可证

解答：解：（1）∵g（x）=sin（cosx）-ax∴g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a
依题意cos(cosx)(-sinx)-a≤0对x∈[0，

π

2

]恒成立
即a≥-cos（cosx）sinx
显然-cos（cosx）sinx≤0∴a≥0，故a的取值范围是a≥0…（6分）
（2）由（1）知：当a=1时，g(x)=f(cosx)-x在[0，

π

2

]上是减函数
且g(0)=sin1＞0，g(

π

2

)=-

π

2

＜0
∴存在唯一c∈(0，

π

2

)使g(c)=0即f(cosc)=C…（8分）
同理由F(x)=cosf(x)-x在[0，

π

2

]上是减函数
且F(0)=1＞0，F(

π

2

)=cos1-

π

2

＜0
知存在d∈(0，

π

2

)使F(d)=0
即cosf（d）=d成立…（10分）
由cosf（d）=d得f[cos（f（d））]=f（d）
及f（cosc）=c的唯一性知c=f（d），即c=sind
综上可知，存在c，d使f（cosc）=c和cos[f（d）]=d同时成立，且c=sind…（13分）

点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将单调性问题转化为恒成立问题，另外还要具备综合应用所学知识解决问题的能力．