Question

求函数f（x）=-x²+2x-3在区间[2a-1，2]上的最小值的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：对f（x）配方即可知道f（x）的对称轴为x=1，且f（2）=f（0）=-3，所以讨论2a-1和0的关系，可结合二次函数f（x）的图象可求得f（x）的最小值，设最小值为g（a）=

-4a2+8a-6 a≤ 1 2 -3 1 2 ＜a＜ 3 2

，根据二次函数的最值及分段函数的最值即可求得g（a）的最大值．

解答： 解：f（x）=-（x-1）²-2；
f（2）=-3，f（0）=-3；
∴当2a-1≤0即a≤

1

2

时，fmin(x)=f(2a-1)=-4a2+8a-6；
当0＜2a-1＜2即

1

2

＜a＜

3

2

时，f_min（x）=f（2）=-3；
不妨记f（x）的最小值为g（a），则 g(a)=

-4a2 +8a-6    a≤ 1 2 -3           1 2 ＜a＜ 3 2

-4a²+8a-6=-4（a-1）²-2；
∴a≤

1

2

时，-4a²+8a-6单调递增；
∴a≤

1

2

时，g（a）≤g(

1

2

)=-3；
∴g（a）的最大值为-3；
即f（x）在[2a-1，2]上的最小值的最大值为-3．

点评：考查配方法解决二次函数问题，知道如何讨论2a-1是求解本题的关键，以及二次函数的最大值，分段函数的最大值．