题目内容
(12分)如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求
和平面
所成的角的大小；
（Ⅱ）证明
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的正弦值．
中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）求
和平面所成的角的大小；（Ⅱ）证明
平面；（Ⅲ）求二面角
的正弦值．（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，
平面，故
．
又
，
，从而
平面．故在平面内的射影为
，从而
为和平面所成的角．
在
中，
，故
．
所以和平面所成的角的大小为
．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，
平面，故
．
由条件
，
，
面
．又
面，
．
由
，
，可得
．
是的中点，
，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作
，垂足为
，连结
．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是
，则
．
因此
是二面角的平面角．由已知，得
．设
，得
，
，
，
．
在
中，
，
，则
．在
中，
．
中，因底面，平面，故．又
，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．在
中，，故．所以
和平面所成的角的大小为．（Ⅱ）证明：在四棱锥
中，因
底面，平面，故．由条件
，，面．又面，．由
，，可得．是的中点，，．综上得平面．（Ⅲ）解：过点
作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．因此
是二面角的平面角．由已知，得．设，得，，，．在
中，，，则．在中，．略
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中，点
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上，且 
．以下结论：①
；②MN//平面
；③MN与
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到面
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；⑤若点
与
确定的平面在正方体
的四个顶点都在半径为
的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，球心为
，
是线段
的中点，过