Question

已知

1

1+x

≤1-

1

2

x+

1

4

x²，x∈[0，+∞），证明不等式恒不成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出当x∈[0，+∞）时，1-

1

2

x+

1

4

x²的最小值

3

4

，

1

1+x

的最大值1，取x=

1

2

，计算即可判断不等式恒不成立．

解答： 证明：当x∈[0，+∞）时，
1-

1

2

x+

1

4

x²=

1

4

（x²-2x+4）=

1

4

[（x-1）²+3]，
当x=1时，取得最小值

3

4

．此时

1

1+x

=

2

2

，有

2

2

＜

3

4

；

1

1+x

当x=0时，取得最大值1，此时1-

1

2

x+

1

4

x²=1，有1≤1；
当x=

1

2

时，

1

1+x

=

6

3

，1-

1

2

x+

1

4

x²=

13

16

，即有

6

3

＞

13

16

．
则有不等式在x∈[0，+∞]恒不成立．

点评：本题考查不等式恒不成立问题，主要考查转化思想，求出函数的最值是解题的关键．