Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-3，2），$\overrightarrow{b}$=（2，1），$\overrightarrow{c}$=（3，-1），t∈R．
（1）向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$会与非零向量t$\overrightarrow{c}$共线吗？
（2）t为何值时，$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标求出$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$、t$\overrightarrow{c}$的坐标，结合向量共线的坐标表示可得向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与非零向量t$\overrightarrow{c}$不共线；
（2）求出$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$得坐标，由向量共线的坐标表示列式求得t的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（-3，2），$\overrightarrow{b}$=（2，1），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-5，1），
又非零向量t$\overrightarrow{c}$=（3t，-t），
而-5（-t）-3t=2t≠0．
∴向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与非零向量t$\overrightarrow{c}$不共线；
（2）$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$=（-3-2t，2-t），$\overrightarrow{c}$=（3，-1），
由（-3-2t）（-1）-3（2-t）=0，解得：t=$\frac{3}{5}$．
∴当t=$\frac{3}{5}$时，$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线．

点评 平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$?a₁a₂+b₁b₂=0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$?a₁b₂-a₂b₁=0，是基础题．