Question

6．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁是以C₁（3，1）为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₂：ρsinθ-ρcosθ=1．
（1）求曲线C₁的参数方程与直线C₂的直角坐标方程；
（2）直线C₂与曲线C₁相交于A，B两点，求△ABC₁的周长．

Answer 1

分析 （1）根据曲线的圆心和半径，求出曲线的参数方程即可，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出直线的参数方程即可；
（2）根据点到直线的距离求出d，求出弦长，从而求出△ABC₁的周长即可．

解答 解：（1）因为曲线C₁是以C₁（3，1）为圆心，以$\sqrt{5}$为半径的圆，
所以曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{5}cosα}\\{y=1+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$ （α为参数），
由直线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程得y-x=1，
即x-y+1=0．（5分）
（2）因为圆心C₁（3，1）到直线x-y+1=0的距离为d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以直线C₂被曲线C₁截得的弦长|AB|=2$\sqrt{5{-d}^{2}}$=2$\sqrt{5{-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以△ABC₁的周长为$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$．（10分）

点评 本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程以及普通方程的转化，是一道中档题．