Question

17．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=$\frac{[x]}{x}$-k（x＞0），若方程f（x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$
• B． $（{\frac{2}{3}，\frac{3}{4}}]$
• C． $（{\frac{3}{4}，\frac{4}{5}}]$
• D． $（{\frac{4}{5}，\frac{5}{6}}）$

Answer 1

分析 由f（x）=0得$\frac{[x]}{x}$=k，令g（x）=$\frac{[x]}{x}$，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．

解答 解：由f（x）=$\frac{[x]}{x}$-k=0得$\frac{[x]}{x}$=k，
若x＞0，设g（x）=$\frac{[x]}{x}$，
则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，
当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=$\frac{1}{x}$，此时$\frac{1}{2}＜g（x）≤1$，
当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=$\frac{2}{x}$，此时$\frac{2}{3}$＜g（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=$\frac{3}{x}$，此时$\frac{3}{4}$＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=$\frac{4}{x}$，此时$\frac{4}{5}$＜g（x）≤1，
作出函数g（x）的图象，
要使f（x）=$\frac{[x]}{x}$-k有且仅有三个零点，
即函数g（x）=k有且仅有三个零点，
则由图象可知$\frac{3}{4}$＜k≤$\frac{4}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．